Question

18．已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（I）当a=2时，求不等式f（x）≤4的解集；
（II）设函数g（x）=|2x-1|．当x∈R时，f（x）+g（x）≥2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，f（x）=|2x-2|+2，不等式即|x-1|≤1，-1≤x-1≤1，由此求得x的范围．
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得f（x）+g（x）的最小值为|1-a|+a，不等式等价于|1-a|+a≥2，分类讨论，求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=|2x-2|+2，不等式即|2x-2|+2≤4，即|x-1|≤1，-1≤x-1≤1，
求得0≤x≤2，故f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤2}．
（Ⅱ）当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a，当$x=\frac{1}{2}$时等号成立，
所以当x∈R时，f（x）+g（x）≥2等价于|1-a|+a≥2 ①，
当a≤1时，①等价于1-a+a≥2，无解；
当a＞1时，①等价于a-1+a≥2，解得$a≥\frac{3}{2}$，
综合可得，a的取值范围是$[\frac{3}{2}，+∞）$．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．