Question

14．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$ （α∈R，α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的普通方程，并把其化为极坐标方程（要求化为ρ=f（θ）的形式）；
（2）点A，B在曲线C上，且∠AOB=90°，求$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用同角的平方关系，可得曲线C的普通方程；再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入普通方程，可得极坐标方程；
（2）设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ-$\frac{π}{2}$），代入极坐标方程，由诱导公式和两角和的正弦公式，借助正弦函数的值域即可得到所求范围．

解答 解：（1）曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$ （α∈R，α为参数），
由cos²α+sin²α=1，可得曲线C的普通方程为$\frac{（x-1）^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得3（ρcosθ-1）²+4ρ²sin²θ=12，
ρ²（3+sin²θ）-6ρcosθ-9=0，
解得ρ=$\frac{6cosθ±12}{2（3+si{n}^{2}θ）}$，
即有ρ=$\frac{3cosθ+6}{3+si{n}^{2}θ}$=$\frac{3（2+cosθ）}{4-co{s}^{2}θ}$=$\frac{3}{2-cosθ}$；
（2）点A，B在曲线C上，且∠AOB=90°，可设
A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ-$\frac{π}{2}$），
则$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$=$\frac{1}{{ρ}_{1}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}}$=$\frac{2-cosθ}{3}$+$\frac{2-cos（θ-\frac{π}{2}）}{3}$
=$\frac{4-（sinθ+cosθ）}{3}$=$\frac{4-\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}{3}$，
当sin（θ+$\frac{π}{4}$）=1时，上式取得最小值$\frac{4-\sqrt{2}}{3}$；
当sin（θ+$\frac{π}{4}$）=-1时，上式取得最大值$\frac{4+\sqrt{2}}{3}$．
故$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$的取值范围是[$\frac{4-\sqrt{2}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{2}}{3}$]．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的转化，注意运用同角的平方关系和极坐标与直角坐标的关系，考查两角和的正弦公式和正弦函数的值域的运用，考查运算能力，属于中档题．