Question

4．在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是B₁D₁的中点，如图建立空间直角坐标系．
（1）求证：B₁C∥平面ODC₁；
（2）求异面直线B₁C与OD夹角的余弦值；
（3）求直线B₁C到平面ODC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）求出平面ODC₁的一个法向量，证明$\overrightarrow n.\overrightarrow{{B_1}C}=0$，即可证明：B₁C∥平面ODC₁；
（2）设$\overrightarrow{{B_1}C}$、$\overrightarrow{DO}$分别为直线B₁C与OD的方向向量，则由$\overrightarrow{{B_1}C}=（-1，0，-1）$，$\overrightarrow{DO}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1）$得cos＜$\overrightarrow{{B_1}C}$，$\overrightarrow{DO}$＞，即可求异面直线B₁C与OD夹角的余弦值；
（3）B₁C到平面ODC₁的距离$d=\frac{{|{\overrightarrow{DC}.\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

解答 （1）证明：设平面ODC₁的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n.\overrightarrow{DO}=0\\ \overrightarrow n.\overrightarrow{D{C_1}}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0\\ y+z=0\end{array}\right.$，令y=1，则z=-1，x=1
所以$\overrightarrow n=（1，1，-1）$．
又$\overrightarrow{{B_1}C}=（-1，0，-1）$．从而$\overrightarrow n.\overrightarrow{{B_1}C}=0$
所以B₁C∥平面ODC₁．
（2）解：设$\overrightarrow{{B_1}C}$、$\overrightarrow{DO}$分别为直线B₁C与OD的方向向量，
则由$\overrightarrow{{B_1}C}=（-1，0，-1）$，$\overrightarrow{DO}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1）$得cos＜$\overrightarrow{{B_1}C}$，$\overrightarrow{DO}$＞=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
所以两异面直线B₁C与OD的夹角θ的余弦值为$cosθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（3）由（1）知平面ODC₁的一个法向量为$\overrightarrow n=（1，1，-1）$，
又$\overrightarrow{DC}=（0，1，0）$
所以B₁C到平面ODC₁的距离$d=\frac{{|{\overrightarrow{DC}.\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查空间向量的运用，考查线面平行、线线角，点到平面的距离，正确运用向量方法是关键．