Question

17．已知函数f（x）=xlnx-ax²+a不存在最值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [1，+∞）
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 问题等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象最多1个交点，当y=lnx和y=2ax-1相切时，设切点是（x₀，lnx₀），求出a的临界值即可．

解答 解：由题意，f′（x）=lnx+1-2ax
令f′（x）=0，得lnx=2ax-1，
函数f（x）不存在最值，等价于f′（x）=lnx-2ax+1最多1个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象最多1个交点，
当y=lnx和y=2ax-1相切时，设切点是（x₀，lnx₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{l{nx}_{0}=2{ax}_{0}-1}\\{2a=\frac{1}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{1}{2}$，
故当a=$\frac{1}{2}$时，直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切，
故a≥$\frac{1}{2}$时，y=lnx与y=2ax-1的图象最多1个交点．
则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了导数的应用以及函数的最值问题，考查转化思想，是一道中档题．