Question

9．已知f（x）=e^x-ax²-2x+b（e为自然对数的底数，a，b∈R）．
（Ⅰ）设f′（x）为f（x）的导函数，证明：当a＞0时，f′（x）的最小值小于0；
（Ⅱ）若a＜0，f（x）＞0恒成立，求符合条件的最小整数b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令g（x）=f'（x）=e^x-2ax-2，求出g'（x）=e^x-2a，判断导函数的符号，推出单调性，求出原函数的导数的最小值，再构造最小值函数，利用导数求解最小值函数的最大值为负值，说明f'（x）_min＜0成立．（Ⅱ）利用f（x）＞0恒成立，等价于f（x）_min＞0恒成立，构造g（x）=f'（x）=e^x-2ax-2，求出导函数g'（x）=e^x-2a，判断单调性，推出$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）={e^{x_0}}-ax_0^2-2{x_0}+b＞0$恒成立且${e^{x_0}}-2a{x_0}-2=0$求出b的表达式，a的表达式，在构造函数令$m（x）=（\frac{x}{2}-1）{e^x}+x，x∈（0，ln2）$，判断单调性，求出满足椭圆的b即可．
法2：令x=0，得到符合条件的最小整数b=0，然后证明b=0时，f（x）＞0   求f（x）=e^x-ax²-2x的最小值．令g（x）=f'（x）=e^x-2ax-2，判断g（x）单调性，求解函数$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）={e^{x_0}}-ax_0^2-2{x_0}$，且${e^{x_0}}-2a{x_0}-2=0$，在构造函数函数$p（x）=（1-\frac{x}{2}）{e^x}-x，x∈（0，ln2）$，利用函数的最值，推出b=0是符合条件的．

解答 解：（Ⅰ）证明：令g（x）=f'（x）=e^x-2ax-2，则g'（x）=e^x-2a，
因为a＞0，令g'（x₀）=0，x₀=ln2a，
所以当x∈（-∞，ln2a）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（ln2a，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增--------------------（2分）
则f'（x）_min=g（x）_min=g（ln2a）=e^ln2a-2aln2a-2=2a-2aln2a-2--------------------（3分）
令G（x）=x-xlnx-2，（x＞0）G'（x）=1-（lnx+1）=-lnx当x∈（0，1）时，
G'（x）＞0，G（x）单调递增
当x∈（1，+∞）时，G'（x）＜0，G（x）单调递减
所以G（x）_max=G（1）=-1＜0，所以f'（x）_min＜0成立．--------------------（5分）
（Ⅱ）f（x）＞0恒成立，等价于f（x）_min＞0恒成立
令g（x）=f'（x）=e^x-2ax-2，则g'（x）=e^x-2a，
因为a＜0，所以g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，
又g（0）=-1＜0，g（1）=e-2a-2＞0，所以存在x₀∈（0，1），使得g（x₀）=0---------------------（6分）
则x∈（-∞，x₀）时，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（x₀，+∞）时，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增；
所以f（x）_min=f（x₀）=e^x₀-ax₀²-2x₀+b＞0恒成立…（1）
且e^x₀-2ax₀-2=0…（2）
由（1）（2），$b＞-{e^{x_0}}+ax_0^2+2{x_0}=-{e^{x_0}}+{x_0}（\frac{{{e^{x_0}}}}{2}-1）+2{x_0}=（\frac{x_0}{2}-1）{e^{x_0}}+{x_0}$即可----------（8分）
又由（2）a=$\frac{{{e^{x_0}}-2}}{{2{x_0}}}$＜0，所以x₀∈（0，ln2）---------------------（9分）
令$m（x）=（\frac{x}{2}-1）{e^x}$+x，x∈（0，ln2）n（x）=m'（x）=$\frac{1}{2}（x-1）{e^x}$+1n'（x）=$\frac{1}{2}x{e^x}$＞0，
所以n（x）＞n（0）=$\frac{1}{2}$＞0，所以m（x）单调递增，m（x）＞m（0）=（-1）e⁰=-1，$m（x）＜m（ln2）=（\frac{ln2}{2}-1）{e^{ln2}}$+ln2=2ln2-2---------------------（11分）
所以b＞-1，所以符合条件的b=0---------------------（12分）
法2：令x=0，f（0）=1+b＞0，b＞-1，故符合条件的最小整数b=0．-------------------（6分）
现证明b=0时，f（x）＞0   求f（x）=e^x-ax²-2x的最小值即可
令g（x）=f'（x）=e^x-2ax-2，则g'（x）=e^x-2a，因为a＜0，所以g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，
又g（0）=-1＜0，g（1）=e-2a-2＞0，所以存在x₀∈（0，1），使得g（x₀）=0，
则x∈（-∞，x₀）时，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（x₀，+∞）时，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增；
所以f（x）_min=f（x₀）=e^x₀-ax₀²-2x₀．（1）
且e^x₀-2ax₀-2=0…（2）
f（x）_min=f（x₀）=e^x₀-$\frac{x_0}{2}（{e^{x_0}}-2）-2{x_0}=（1-\frac{x_0}{2}）{e^{x_0}}-{x_0}$---------------（8分）
又由（2）a=$\frac{{{e^{x_0}}-2}}{{2{x_0}}}$＜0，所以x₀∈（0，ln2）---------------（9分）
现在求函数$p（x）=（1-\frac{x}{2}）{e^x}$-x，x∈（0，ln2）的范围q（x₀）=p'（x）=$\frac{1}{2}（1-x）{e^x}$-1，q'（x₀）=-$\frac{1}{2}x{e^x}$＜0，
所以q（x）＜q（0）=-$\frac{1}{2}$＜0，所以p（x）单调递减，p（x）＜p（0）=（-1）e⁰=1$p（x）＞p（ln2）=（1-\frac{ln2}{2}）{e^{ln2}}$-ln2=2-ln2＞0-------------（11分）
所以b=0是符合条件的．-------------（12分）．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及多次求导，函数的最值以及导函数的单调性以及最值，考查分类讨论以及转化思想的应用，难度大．