以直角坐标系xOy的原点为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.且两坐标系相同的长度单位．已知点N的极坐标为($\sqrt{2}$.$\frac{π}{4}$).M是曲线C1:ρ=1上任意一点.点G满足$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$.设点G的轨迹为曲线C2．(1)求曲线C2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且两坐标系相同的长度单位．已知点N的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），M是曲线C₁：ρ=1上任意一点，点G满足$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，设点G的轨迹为曲线C₂．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若过点P（2，0）的直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}$（t为参数），且直线l与曲线C₂交于A，B两点，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

分析（Ⅰ）由ρ=1，得x²+y²=1，可得曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=1．设G（x，y），M（x₀，y₀），利用向量坐标运算可得点M的坐标用点G的坐标表示，代入曲线C₁的方程即可得出方程．
（Ⅱ）把直线l$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）的方程代入曲线C₂的直角坐标方程可得：${t^2}-（{1+\sqrt{3}}）t+1=0$．利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．

解答解：（Ⅰ）由ρ=1，得x²+y²=1，∴曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=1，
∵点N的直角坐标为（1，1），设G（x，y），M（x₀，y₀），又$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，即（x，y）=（x₀，y₀）+（1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=x-1\\{y_0}=y-1\end{array}\right.$，代入${x_0}^2+{y_0}^2=1$，得（x-1）²+（y-1）²=1，
∴曲线C₂的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）把直线l$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）的方程代入曲线C₂的直角坐标方程（x-1）²+（y-1）²=1，
得${（{1-\frac{t}{2}}）^2}+{（{\frac{{\sqrt{3}t}}{2}-1}）^2}=1$，即${t^2}-（{1+\sqrt{3}}）t+1=0$．
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，则$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=1+\sqrt{3}\\{t_1}{t_2}=1\end{array}\right.$，易知t₁＞0，t₂＞0，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{PA}|+|{PB}|}}{{|{PA}||{PB}|}}=\frac{{|{t_1}|+|{t_2}|}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{{{t_1}{t_2}}}=1+\sqrt{3}$．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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