Question

16．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，当x=-2时，f（x）有极值为13．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[-3，0]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值．

解答 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+5，
得：f′（x）=3x²+2ax+b．…（1分）
y=f（x）在点x=-2处极值为13．
故$\left\{\begin{array}{l}f（-2）=-8+4a-2b+5=13\\ f'（-2）=12-8a+b=0\end{array}\right.$…（3分）
解得a=2，b=-4                                            …（5分）
∴f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）f′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f′（x）=0，解得x=$\frac{2}{3}$或x=-2．…（8分）
∴f（x）在[-3，-2）递减，在（-2，0]递增，
∴f（x）在最小值是f（-2），最大值是f（-3）或f（0），
而f（-2）=-8+8+8+5=13，f（0）=5，
f（-3）=-27+18+12+5=8…（11分）
∴f（x）在[-3，0]上的最大值为13，最小值为5．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．