Question

12．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-{x}^{2}，x＞0}\\{ax{e}^{x}，x≤0}\end{array}\right.$，其中a＞0．
（1）求曲线g（x）=f（x）+lnx在点（1，g（1））处的切线方程；
（2）若f（x）+f（a）≥0对x∈（-∞，0]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，计算g′（1），g（1），求出切线方程即可；
（2）问题转化为即a²-a≥-xe^x对x∈（-∞，0]恒成立，令h（x）=-xe^x，x∈（-∞，0]，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）g（x）=f（x）+lnx=x³-x²+lnx，（x＞0），
g′（x）=3x²-2x+$\frac{1}{x}$，g′（1）=2，g（1）=0，
∴切线方程是：y=2（x-1），即2x-y-2=0；
（2）∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-{x}^{2}，x＞0}\\{ax{e}^{x}，x≤0}\end{array}\right.$，其中a＞0，
∴若f（x）+f（a）≥0对x∈（-∞，0]恒成立，
即xe^x+a²-a≥0对x∈（-∞，0]恒成立，
即a²-a≥-xe^x对x∈（-∞，0]恒成立，
令h（x）=-xe^x，x∈（-∞，0]，
h′（x）=-e^x（x+1），
令h′（x）＞0，解得：x＜-1，令h′（x）＜0，解得：-1＜x≤0，
∴h（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，0]递减，
∴h（x）_max=h（-1）=$\frac{1}{e}$，
∴a²-a≥$\frac{1}{e}$，
解得：a≥$\frac{1}{2}$（1+$\frac{\sqrt{e（4+e）}}{e}$）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．