Question

19．在直角坐标系xOy中，圆C₁：（x-3）²+y²=9，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₂的圆心的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$），半径为1．
（1）求圆C₁的极坐标方程；
（2）设圆C₁与圆C₂交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）圆C₁：（x-3）²+y²=9，展开可得：x²+y²-6x=0，利用互化公式可得极坐标方程．
（2）圆C₂的圆心的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$），化为直角坐标（1，1），可得圆C₂的标准方程：（x-1）²+（y-1）²=1，由圆C₁与圆C₂的方程相减可得公共弦所在的直线方程：4x-2y+1=0，求出圆心（1，1）到直线的距离d，利用弦长|AB|=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$即可得出．

解答 解：（1）圆C₁：（x-3）²+y²=9，展开可得：x²+y²-6x=0，
可得极坐标方程：ρ²-6ρcosθ=0，化为ρ=6cosθ．
（2）圆C₂的圆心的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$），
化为直角坐标（1，1），可得圆C₂的标准方程：（x-1）²+（y-1）²=1，
由圆C₁与圆C₂的方程相减可得公共弦所在的直线方程：4x-2y+1=0，
圆心（1，1）到直线的距离d=$\frac{|4-2+1|}{\sqrt{{4}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{20}}$，
∴弦长|AB|=2$\sqrt{1-（\frac{3}{\sqrt{20}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{55}}{5}$．

点评 本题考查了曲线的相交弦长、极坐标与直角坐标方程互化、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．