Question

2．设a∈R，函数f（x）=ax²-lnx，g（x）=e^x-ax．
（1）当a=7时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；
（2）由f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，a＞（$\frac{lnx}{{x}^{2}}$）max，设h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），求出a的范围，结合f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，得到a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$对x∈（0，+∞）恒成立．设H（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求出a的范围，取交集即可．

解答 解：（1）函数f（x）=7x²-lnx的导数为f′（x）=14x-$\frac{1}{x}$，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为14-1=13，
切点为（1，7），可得切线的方程为y-7=13（x-1），
即为13x-y-6=0；
（2）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，
即ax²-lnx＞0对x∈（0，+∞）恒成立，则a＞（$\frac{lnx}{{x}^{2}}$）_max，
设h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），
则h′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
当0＜x＜e${\;}^{\frac{1}{2}}$时，h'（x）＞0，函数h（x）递增；
当x＞e${\;}^{\frac{1}{2}}$时，h'（x）＜0，函数h（x）递减．
所以当x＞0时，h（x）_max=h（e${\;}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{1}{2e}$，
∴a＞$\frac{1}{2e}$．
∵h（x）无最小值，
∴f（x）＜0对x∈（0，+∞）恒成立不可能．
∵f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴g（x）=e^x-ax＞0，即a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$对x∈（0，+∞）恒成立．
设H（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴H′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，H'（x）＜0，函数H（x）递减；
当x＞1时，H'（x）＞0，函数H（x）递增，
所以当x＞0时，H（x）_min=H（1）=e，
∴a＜e．
综上可得，$\frac{1}{2e}$＜a＜e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．