Question

10．已知函数f（x）=kx²，g（x）=lnx
（Ⅰ）求函数$h（x）=\frac{g（x）}{x}$的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（Ⅲ）求证：$\frac{ln2}{2^4}+\frac{ln3}{3^4}+…+\frac{lnn}{n^4}＜\frac{1}{2e}，n∈N*，且n≥2$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；
（Ⅱ）分离参数，问题转化为求R（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$的最大值，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知$\frac{lnx}{x^2}≤$$\frac{1}{2e}$，得到$\frac{lnx}{x^4}＜$$\frac{1}{2e}$$•\frac{1}{x^2}$，（x≥2），放缩法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$h（x）=\frac{lnx}{x}$（x＞0）∴$h'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
令h'（x）＞0，得0＜x＜e，
故函数$h（x）=\frac{lnx}{x}$的单调递增区间为（0，e）（3分）
（Ⅱ）由$kx≥\frac{lnx}{x}，得k≥\frac{lnx}{x^2}，令R（x）=\frac{lnx}{x^2}$，
则问题转化为k大于等于R（x）的最大值，
又 $R'（x）=\frac{1-2lnx}{x^3}$（6分）
令 $R'（x）=0，x=\sqrt{e}$
当x在区间（0，+∞）内变化时，R'（x）、R（x）变化情况如表：

x	（0，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
R'（x）	+	0	-
R（x）	↗	$\frac{1}{2e}$	↘

由表知当$x=\sqrt{e}$时，函数R（x）有最大值，且最大值为$\frac{1}{2e}$（8分），
因此k≥$\frac{1}{2e}$（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知$\frac{lnx}{x^2}≤$$\frac{1}{2e}$，∴$\frac{lnx}{x^4}＜$$\frac{1}{2e}$$•\frac{1}{x^2}$，（x≥2），10分
∴$\frac{ln2}{2^4}+\frac{ln3}{3^4}+…+\frac{lnn}{n^4}＜\frac{1}{2e}$$（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}）$，（12分）
又∵$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{（n-1）n}，（n≥2）$
=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）=1-\frac{1}{n}＜1$
∴$\frac{ln2}{2^4}+\frac{ln3}{3^4}+…+\frac{lnn}{n^4}＜\frac{1}{2e}$（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．