Question

9．{a_n}中，S_n=3n²+6n，{b_n}满足b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，{c_n}满足c_n=$\frac{1}{6}$a_nb_n．
（1）求{a_n}；
（2）求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=3n²+6n，利用递推关系：n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=3n²+6n，∴n=1时，a₁=S₁=9；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²+6n-[3（n-1）²+6（n-1）]=6n+3，当n=1时也成立．
∴a_n=6n+3．
（2）c_n=$\frac{1}{6}$a_nb_n=$\frac{1}{6}$×（6n+3）×（$\frac{1}{2}$）^n-1=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$．
∴{c_n}的前n项和T_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{3}{2}$+2$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{5}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．