Question

10．设a，b∈R⁺，如果x满足lg（ax）•lg（bx）+1=0，则$\frac{a}{b}$的取值范围是（0，$\frac{1}{100}$]∪[100，+∞）．

Answer 1

分析 把已知关于x的方程变形，利用△≥0配方得到（lga-lgb）²≥4，进一步得到$lg\frac{a}{b}≤-2$或$lg\frac{a}{b}≥2$，从而求得$\frac{a}{b}$的取值范围．

解答 解：由lg（ax）•lg（bx）+1=0，得（lga+lgx）（lgb+lgx）+1=0．
即lg²x+（lga+lgb）lgx+lgalgb+1=0．
由△=（lga+lgb）²-4lgalgb-4=（lga-lgb）²-4≥0，
得$lg\frac{a}{b}≤-2$或$lg\frac{a}{b}≥2$，
∴0$＜\frac{a}{b}≤\frac{1}{100}$或$\frac{a}{b}≥100$．
∴$\frac{a}{b}$的取值范围是（0，$\frac{1}{100}$]∪[100，+∞）．
故答案为：（0，$\frac{1}{100}$]∪[100，+∞）．

点评 本题考查基本不等式的应用，考查对数运算性质，体现了数学转化思想方法，属中档题．