Question

7．已知函数f（x）=me^x-x-2．（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（0，1），求曲线f（x）在点P（0，1）处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）＞0在R上恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）的两个零点为x₁，x₂，且x₁＜x₂，求$y=（{e^{x_2}}-{e^{x_1}}）（\frac{1}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-m）$的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出m的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）问题转化为$m＞\frac{x+2}{e^x}$，令$u（x）=\frac{x+2}{e^x}$，根据函数的单调性求出u（x）的最大值，从而求出m的范围即可；
（Ⅲ）令x₂-x₁=t（t＞0），构造函数$g（t）=\frac{{{e^t}-1}}{{{e^t}+1}}-t（t＞0）$，根据函数的单调性求出g（t）的范围，从而求出函数的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）当x=0时，f（0）=m-2=1⇒m=3，
f′（x）=3e^x-1，f′（0）=3-1=2，
∴所求切线方程y=2x+1，即2x-y+1=0（3分）
（Ⅱ）由f（x）＞0，得：me^x-x-2＞0，即有$m＞\frac{x+2}{e^x}$，
令$u（x）=\frac{x+2}{e^x}$，则${u^/}（x）=\frac{-x-1}{e^x}$，（5分）
令u′（x）＞0⇒x＜-1，u′（x）＜0⇒x＞-1，
∴u（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减，
∴u（x）_max=u（-1）=e，
∴m＞e（7分）
（ III）由题意，$m{e^{x_1}}-{x_1}-2=0$，$m{e^{x_2}}-{x_2}-2=0$（8分），
$y=\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-m（{e^{x_2}}-{e^{x_1}}）$
=$\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-（{x_2}-{x_1}）$
=$\frac{{{e^{{x_2}-{x_1}}}-1}}{{{e^{{x_2}-{x_1}}}+1}}-（{x_2}-{x_1}）$，
令x₂-x₁=t（t＞0），$g（t）=\frac{{{e^t}-1}}{{{e^t}+1}}-t（t＞0）$（10分）
又${g^/}（t）=\frac{{-{e^{2t}}-1}}{{{{（{e^t}+1）}^2}}}＜0$，
∴g（t）在（0，+∞）上单调递减（12分）
∴g（t）＜g（0）=0（13分）
∴g（t）∈（-∞，0）
∴$y=（{e^{x_2}}-{e^{x_1}}）（\frac{1}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-m）$的值域为（-∞，0）（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．