Question

6．已知函数f（x）=x²-2ax+b（a，b∈R），记M是|f（x）|在区间[0，1]上的最大值．
（I）当b=0且M=2时，求a的值；
（Ⅱ）若M≤$\frac{1}{2}$，证明0≤a≤1．

Answer 1

分析 （1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三个不等式变形所求得到证明；
（Ⅱ）因为∴|f（0）|$≤\frac{1}{2}$，|f（1）|$≤\frac{1}{2}$，可得-$\frac{1}{2}≤f（0）≤\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}≤f（\frac{1}{2}）≤\frac{1}{2}$，-1≤f（0）-f（1）≤1，且$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b}\\{f（1）=1-2a+b}\end{array}\right.$，可求$a=\frac{1+f（0）-f（1）}{2}$，而f（0）-f（1）∈[-1，1]，于是a∈[0，1]，

解答 解：（1）b=0时，f（x）=x²-2ax，
易知，|f（x）|在[0，1]上的最大值在{0，1]的端点处或对称轴处取得．
而f（0）=0，
∴M=|f（1）|或|1-2a|=2，
∴a=-$\frac{1}{2}$或a=$\frac{3}{2}$，
此时，f（x）=x²+x或f（x）=x²-3x，
当f（x）=x²+x，|f（x）|在[0，1]上的最大值为2；
当f（x）=x²-3x时，|f（x）|在[0，1]上的最大值为|f（$\frac{3}{2}$）|=$\frac{9}{4}≠2$；
若M=|f（a）|，则a²=2，∴a=$±\sqrt{2}$，
当a=$-\sqrt{2}$时，f（x）=${x}^{2}+2\sqrt{2}x$在[0，1]上的最大值为1+2$\sqrt{2}$，
当a=$\sqrt{2}$时，f（x）=x${\;}^{2}+2\sqrt{2}x$$2\sqrt{2}-1$，
综上，a=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵M$≤\frac{1}{2}$，
∴|f（0）|$≤\frac{1}{2}$，|f（1）|$≤\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}≤f（0）≤\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}≤f（\frac{1}{2}）≤\frac{1}{2}$，
∴-1≤f（0）-f（1）≤1，
且$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b}\\{f（1）=1-2a+b}\end{array}\right.$，
∴$a=\frac{1+f（0）-f（1）}{2}$，
而f（0）-f（1）∈[-1，1]，
∴a∈[0，1]，
∴0≤a≤1

点评 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M是|f（x）|在区间[0，1]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形