Question

13．已知函数f（x）=x+$\frac{{{a^{\;}}}}{x}$，g（x）=x+lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若存在x₁∈[1，e]，x₂∈[e，e²]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围求出f（x）在[1，e]的最大值，求出g（x）在[e，e²]的最小值，问题转化为f（x）_max＞g（x）_min即可，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x+$\frac{{{a^{\;}}}}{x}$，（x≠0），
∴f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）递增；
②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$且x≠0，
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{a}$）递增，在（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$）递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）递增；
（2）由（1）得：
①a≤1时，f（x）在[1，e]递增，
∴f（x）在[1，e]的最大值是f（e）=e+$\frac{a}{e}$，
②1＜a＜e时，f（x）在[1，a）递减，在（a，e]递增，
∴f（x）的最大值是f（1）或f（e），
而f（1）=1+a＜f（e）=e+$\frac{a}{e}$，
∴f（x）在[1，e]的最大值是e+$\frac{a}{e}$，
③a≥e时，f（x）在[1，e]递减，
∴f（x）在[1，e]的最大值是f（1）=1+a，
而g（x）=x+lnx，g′（x）=1+$\frac{1}{x}$＞0，
∴g（x）在[e，e²]递增，g（x）的最小值是g（e）=1+e，
若存在x₁∈[1，e]，x₂∈[e，e²]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，
只需f（x）_max＞g（x）_min即可，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜e}\\{e+\frac{a}{e}＞1+e}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥e}\\{1+a≥1+e}\end{array}\right.$，
解得：a≥e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．