Question

15．若P（x，y）为圆x²+y²-6x-4y+12=0上的点，则$\frac{y}{x}$的最大值为$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 化圆的一般方程为标准方程，作出图形，利用$\frac{y}{x}$的几何意义，即圆上的点与坐标原点连线的斜率，结合点到直线的距离公式求解．

解答 解：由圆x²+y²-6x-4y+12=0，得（x-3）²+（y-2）²=1．
画出图形如图，

$\frac{y}{x}$的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率．
设过原点与圆x²+y²-6x-4y+12=0相切的直线方程为y=kx．
由$\frac{|3k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得：k=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$或k=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
∴$\frac{y}{x}$的最大值为$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是基础题．