Question

13．已知矩阵$[\begin{array}{l}{a}&{3}\\{1}&{a}\end{array}]$的逆矩阵是$[\begin{array}{l}{a}&{-3}\\{-1}&{a}\end{array}]$，则正实数a=2．

Answer 1

分析 由求得丨A丨=a²-3，由A^-1=$\frac{1}{丨A丨}$×A*，求得A^-1，根据矩阵相等求得a的值．

解答 解：设A=$[\begin{array}{l}{a}&{3}\\{1}&{a}\end{array}]$，则丨A丨=a²-3，
则A的逆矩阵为：$[\begin{array}{l}{\frac{a}{{a}^{2}-3}}&{-\frac{3}{{a}^{2}-3}}\\{-\frac{1}{{a}^{2}-3}}&{\frac{a}{{a}^{2}-3}}\end{array}]$，
∴$[\begin{array}{l}{\frac{a}{{a}^{2}-3}}&{-\frac{3}{{a}^{2}-3}}\\{-\frac{1}{{a}^{2}-3}}&{\frac{a}{{a}^{2}-3}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a}&{-3}\\{-1}&{a}\end{array}]$，
解得：a=±2，
由a＞0，a=2，
故答案为：2．

点评 本题考查逆矩阵的意义，考查求逆矩阵的求法，考查计算能力，属于基础题．