Question

1．直线x+y=k（k＞0）与圆x²+y²=4交于A，B两点，若|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|（O为原点），那么（　　）

• A． k=2
• B． k=2$\sqrt{2}$
• C． k=$\sqrt{2}$
• D． k=4

Answer 1

分析 利用|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|，可得OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB，求出AB的长，圆心到直线y=-x+k的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到实数k的值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|，
∴OA⊥OB，OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
又圆心坐标为（0，0），半径R=2，
∴AB=$\sqrt{2}$R=2$\sqrt{2}$，
∴圆心到直线y=-x+k的距离d=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{|k|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|k|=2，
∵k＞0
∴k=2．
故选：A．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，其中根据题意得出△AOB为等腰直角三角形是解本题的关键．