Question

10．已知a∈R，函数f（x）=log₂（$\frac{1}{x}$+a），若关于x的方程f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．

解答 解：由f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0，
得log₂（$\frac{1}{x}$+a）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0，
即log₂（$\frac{1}{x}$+a）=log₂[（a-4）x+2a-5]，
即$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5＞0，①
则（a-4）x²+（a-5）x-1=0，
即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，
当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，成立；
当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，成立；
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=$\frac{1}{a-4}$，
若x=-1是方程①的解，则$\frac{1}{x}$+a=a-1＞0，即a＞1，
若x=$\frac{1}{a-4}$是方程①的解，则$\frac{1}{x}$+a=2a-4＞0，即a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．
综上，若方程f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．

点评 本题考查对数的运算性质，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属中档题．