Question

15．如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=VC=2$\sqrt{3}$，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，过A作截面AEF分别交VB，VC于点E，F，求△AEF周长的最小值．

Answer 1

分析 沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内，如图，则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′=3×40°=120°．△VAA′中，由余弦定理可得 AA'的值．

解答 解：如图所示：沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内，如图（2），
则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′=3×40°=120°．
△VAA′中，由余弦定理，得
 AA'=$\sqrt{V{A}^{2}+A′{V}^{2}-2VA•A′Vcos120°}$=$\sqrt{12+12-2×2\sqrt{3}×2\sqrt{2}×（-\frac{1}{2}）}$=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查余弦定理的应用，棱锥的结构特征，利用棱锥的侧面展开图研究几条线段和的最小值问题，是一种重要的解题方法，属于基础题．