Question

5．已知A是抛物线C：y²=2px（p＞0）上一个动点，且点A到直线l：x-2y+13=0的最短距离是$\sqrt{5}$，过直线l上一点B（3，8）作抛物线C的两条切线，M，N为切点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法1：设直线m：x-2y+c=0与抛物线相切，则直线m与l的距离就是动点A到直线l：x-2y+13=0的最短距离，求出c=8，联立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x-2y+c=0}\end{array}}\right.$，消x，利用△=16p²-8cp=0，即可求解抛物线C的方程为y²=8x
法2：设点A为$（\frac{a^2}{2p}，a）$则点A到直线l：x-2y+13=0的距离d，通过d的最小值，求出2p=8，得到抛物线C的方程为y²=8x．
（Ⅱ）设过点B的切线方程为x-3=m（y-8），设$M（\frac{{{y_1}^2}}{8}，{y_1}），N（\frac{{{y_2}^2}}{8}，{y_2}）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=8x}\\{x-3=m（y-8）}\end{array}}\right.$，得到△=64m²-4（64m-24）=0，即2m²-8m+3=0，再利用△'=64-24=40＞0，设两根为m₁，m₂，分别对应切线BM，BN，利用韦达定理，然后求解切点M坐标为$（2{m_1}^2，4{m_1}）$，切点N坐标为$（2{m_2}^2，4{m_2}）$，化简求解向量的数量积，推出结果．

解答 解：（Ⅰ）法1：由题意可知，设直线m：x-2y+c=0与抛物线相切，则直线m与l的距离就是动点A到直线l：x-2y+13=0的最短距离，即$\frac{|13-c|}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$，解得c=8或18
由图可知，抛物线C于直线l相离，故c＜13，故c=8$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x-2y+c=0}\end{array}}\right.$，消x得y²-4py+2cp=0，则△=16p²-8cp=0，即c=2p
故2p=8，即抛物线C的方程为y²=8x
法2：设点A为$（\frac{a^2}{2p}，a）$则点A到直线l：x-2y+13=0的距离$d=\frac{{|\frac{a^2}{2p}-2a+13|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|\frac{1}{2p}{{（a-2p）}^2}-2p+13|}}{{\sqrt{5}}}$，由于a∈R，p＞0，若-2p+13≤0，则d的最小值是0，不合题意，故-2p+13＞0，且只有当a=2p时，d取到最小值$\frac{|-2p+13|}{{\sqrt{5}}}=\frac{-2p+13}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$，故2p=8，即抛物线C的方程为y²=8x
（Ⅱ）由题意可知，切线BM，BN的斜率存在且不等于0，设过点B的切线方程为x-3=m（y-8），设$M（\frac{{{y_1}^2}}{8}，{y_1}），N（\frac{{{y_2}^2}}{8}，{y_2}）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=8x}\\{x-3=m（y-8）}\end{array}}\right.$，得y²-8my+64m-24=0，△=64m²-4（64m-24）=0，即2m²-8m+3=0，由于其△'=64-24=40＞0
不妨设两根为m₁，m₂，分别对应切线BM，BN，则${m_1}+{m_2}=4，{m_1}{m_2}=\frac{3}{2}$，
且由于y²-8my+64m-24=0具有等根，故y₁=4m₁，y₂=4m₂，
则切点M坐标为$（2{m_1}^2，4{m_1}）$，切点N坐标为$（2{m_2}^2，4{m_2}）$，
则$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}=（2{m_1}^2-3，4{m_1}-8）（2{m_2}^2-3，4{m_2}-8）$=$4{（{m_1}{m_2}）^2}-6（{m_1}^2+{m_2}^2）+9+16{m_1}{m_2}-32（{m_1}+{m_2}）+64$=$4{（{m_1}{m_2}）^2}-6[{（{m_1}+{m_2}）^2}-2{m_1}{m_2}]+9+16{m_1}{m_2}-32（{m_1}+{m_2}）+64$=$4{（{m_1}{m_2}）^2}-6[{（{m_1}+{m_2}）^2}-2{m_1}{m_2}]+9+16{m_1}{m_2}-32（{m_1}+{m_2}）+64=-100$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，向量在解析几何中的应用，考查韦达定理以及判别式，直线与曲线相切的应用，考查转化思想以及计算能力．