Question

6．已知圆O：x²+y²=r²（r＞0），与y轴交于M、N两点且M在N的上方．且直线y=2x+$\sqrt{5}$与圆O相切．
（1）求实数r的值；   
（2）若动点P满足PM=$\sqrt{3}$PN，求△PMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圆的圆心，利用直线y=2x+$\sqrt{5}$与圆O相切，圆心O（0，0）到直线y=2x+$\sqrt{5}$的距离为半径，求解即可．
（2）设点P（x，y），点M（0，1），N（0，-1）；MN=2，利用PM=$\sqrt{3}$PN，推出点P在圆心为（0，-2），半径为$\sqrt{3}$的圆上，求出点P到y轴的距离最大值为$\sqrt{3}$，然后求解△PMN面积的最大值．

解答 解：（1）∵直线y=2x+$\sqrt{5}$与圆O相切
∴圆心O（0，0）到直线y=2x+$\sqrt{5}$的距离为：d=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=1，∴r=1．-------------------------------（4分）
（2）设点P（x，y），点M（0，1），N（0，-1）；MN=2
∵PM=$\sqrt{3}$PN．∴x²+（y-1）²=3x²+3（y+1）²，即x²+y²+4y+1=0-----------------------（8分）
∴点P在圆心为（0，-2），半径为$\sqrt{3}$的圆上，∴点P到y轴的距离最大值为$\sqrt{3}$
∴△PMN面积的最大值为：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．---------------------------------------------------------------（12分）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．