Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1（n＞1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n=1008，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n，与原式相减求得$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，采用累乘法即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知，将a_n=1008，代入即可求得n的值．

解答 解：（1）a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1，
a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n，
两式相减得：a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}$a_n，整理得：$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，
∴累乘得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$×$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$×…×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{n}{1}$，
∴a_n=n，
求数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）由（1）可知a_n=n，a_n=1008，
∴n=1008

点评 本题考查数列利用递推公式求通项公式的方法，考查累乘法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．