Question

17．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$|\begin{array}{l}{\frac{π}{6}}&{0}&{\frac{π}{12}}\\{0}&{n}&{0}\\{-1}&{0}&{n}\end{array}|$
（1）求通项公式a_n；
（2）设b_n=$\frac{πn}{12{S}_{n}}$，设c_n=$|\begin{array}{l}{{b}_{n}}&{1}\\{1}&{{b}_{n+1}}\end{array}|$，求数列{c_n}的前n项和T_n及$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{T}_{n}}{n}$．

Answer 1

分析 （1）将行列式按第二行展开求得S_n的表达式，当n=1时，求得a₁，当n≥2时，S_n-1=$\frac{π}{6}$（n-1）²+$\frac{π}{12}$（n-1），即可求得通项公式a_n；
（2）由（1）可知，将S_n代入，求得bn，根据行列式展开，求得cn的通项公式，利用“裂项法”即可求得数列{c_n}的前n项和T_n，求得$\frac{{T}_{n}}{n}$，即可求得$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{T}_{n}}{n}$．

解答 解：（1）S_n=n×$|\begin{array}{l}{\frac{π}{6}}&{\frac{π}{12}}\\{-1}&{n}\end{array}|$=$\frac{π}{6}$n²+$\frac{π}{12}$n，
S_n=$\frac{π}{6}$n²+$\frac{π}{12}$n，
当n=1时，a₁=$\frac{π}{4}$，
当n≥2时，S_n-1=$\frac{π}{6}$（n-1）²+$\frac{π}{12}$（n-1），
两式相减得：a_n=$\frac{π}{3}$n-$\frac{π}{12}$，
当n=1，成立，
∴数列{a_n}通项公式a_n=$\frac{π}{3}$n-$\frac{π}{12}$；
（2）b_n=$\frac{πn}{12{S}_{n}}$=$\frac{πn}{12×\frac{π}{12}n（2n+1）}$=$\frac{1}{2n+1}$，
c_n=$|\begin{array}{l}{{b}_{n}}&{1}\\{1}&{{b}_{n+1}}\end{array}|$=b_n•b_n+1-1=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）-1，
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]-n，
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）-n
=$\frac{-2n（3n+4）}{3（2n+3）}$，
∴T_n=$\frac{-2n（3n+4）}{3（2n+3）}$，
$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{T}_{n}}{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{-2（3n+4）}{3（2n+3）}$=-$\frac{2}{3}$$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3+\frac{4}{n}}{2+\frac{3}{n}}$=-$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{2}$=-1，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{T}_{n}}{n}$=-1．

点评 本题考查三阶行列式展开，考查数列的通项公式，“裂项法”求前n项和公式、数列的极限，综合综合能力强，知识点多，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．