Question

12．已知函数f（x）=lg（2-x）-lg（2+x）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义判断函数的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的奇偶性的定义，结合已知中f（x）=lg（2-x）-lg（2+x）可得结论；
（2）设x₁，x₂∈（-2，2）且x₁＜x₂，利用作差法判断出$\frac{2-{x}_{1}}{2+{x}_{1}}$＞$\frac{2-{x}_{2}}{2+{x}_{2}}$，结合对数函数的单调性可得结论．

解答 解：（1）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}2-x＞0\\ 2+x＞0\end{array}\right.$，解得-2＜x＜2，
∴f（x）的定义域为（-2，2）关于原点对称．
又∵f（-x）=lg（2+x）-lg（2-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）f（x）=lg（2-x）-lg（2+x）=lg$\frac{2-x}{2+x}$．
设x₁，x₂∈（-2，2）且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，2+x₁＞0，2+x₂＞0，
∴$\frac{2-{x}_{1}}{2+{x}_{1}}$-$\frac{2-{x}_{2}}{2+{x}_{2}}$=$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（2+{x}_{1}）（2+{x}_{2}）}$＞0
即$\frac{2-{x}_{1}}{2+{x}_{1}}$＞$\frac{2-{x}_{2}}{2+{x}_{2}}$，
∴lg$\frac{2-{x}_{1}}{2+{x}_{1}}$＞lg$\frac{2-{x}_{2}}{2+{x}_{2}}$，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=lg（2-x）-lg（2+x）在（-2，2）内单调递减．

点评 判断函数奇偶性，必须先求出定义域，单调性的判断在定义域内用定义判断．