Question

14．如图，AC为线段BD的垂直平分线，且AE=BE=$\frac{1}{2}$CE=1，现将△BCD沿线段BD翻折到PBD，使二面角P-BD-A为60°．
（1）证明：PA⊥平面ABD；
（2）设AB的中点为F，求点F到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （1）证明：PA⊥AE，BD⊥PA，即可证明PA⊥平面ABD；
（2）过A做AO⊥PE，垂足为O，则AO⊥平面PBD，求出AO，利用AB的中点为F，即可求点F到平面PBD的距离．

解答 （1）证明：由题意，∠PEA=60°，AE=1，PE=2，
∴PA⊥AE，
∵PE⊥BD，AE⊥BD，PE∩AE=E，
∴BD⊥平面PAE，
∴BD⊥PA，
∵AE∩BD=E，
∴PA⊥平面ABD；
（2）解：过A做AO⊥PE，垂足为O，则AO⊥平面PBD．
∴AO=AEsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AB的中点为F，
∴点F到平面PBD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查点到平面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．