Question

13．已知函数f（x）=sin2x-$\sqrt{3}cos2x，x∈[{\frac{π}{3}，\frac{11π}{24}}]$．
（I）求函数f（x）的值域；
（II）已知锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，且△ABC的外接圆半径为$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用辅助角公式化简f（x），求出内层函数的范围，结合三角函数的性质即可答案；
（II）锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，可得根据值求出相应的角度，结合和与差公式即可求解△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2x-$\sqrt{3}cos2x，x∈[{\frac{π}{3}，\frac{11π}{24}}]$．
化简可得：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∵x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{11π}{24}$]
可得：$2x-\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{7π}{12}]$，
所以当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{5π}{12}$时，f（x）取得最大值为 $f（\frac{5π}{12}）=2$，
当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$，即$x=\frac{π}{3}$时，f（x）取得最小值为 $f（\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，
函数f（x）的值域为[$\sqrt{3}$，2]．
（II）锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，设AB=c=$\sqrt{3}$，AC=b=2．
由正弦定理，$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=2R$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{sinC}=\frac{2}{sinB}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
△ABC是锐角三角形．
∴cosB=$\frac{1}{3}$，cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
那么：△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的化解能力和性质的运用，正弦定理的运用和计算，属于中档题．