Question

设关于的一元二次方程.
（1）若，都是从集合中任取的数字，求方程有实根的概率；
（2）若是从区间[0,4]中任取的数字，是从区间[1，4]中任取的数字，求方程有实根的概率．

Answer 1

（1）（2）

试题分析：（1）设事件A=“方程有实根”，记为取到的一种组合，则所有的情况有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）               ……2分
一共16种且每种情况被取到的可能性相同,                                        ……3分
∵关于的一元二次方程有实根,
∴                                                    ……4分
∴事件A包含的基本事件有：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，4）共10种,                                              ……5分
,
∴方程有实根的概率是.                                                       ……6分
（2）设事件B=“方程有实根”，记为取到的一种组合,
∵是从区间[0,4]中任取的数字，是从区间[1，4]中任取的数字,
∴点所在区域是长为4,宽为3的矩形区域，如图所示：
                                                      ……9分
又满足：的点的区域是如图所示的阴影部分,
∴,
∴方程有实根的概率是.                                                     ……12分
点评：古典概型要求每个基本事件都是等可能发生的，而几何概型包括与长度、面积、体积、角度等有关的几类问题，要正确区分，灵活转化，仔细计算.