Question

设函数f（x）的定义域为A，值域为B，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍然是B，那么称函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换．
（1）判断下列函数x=g（t）是不是函数f（x）的一个等值域变换？说明你的理由．
①f（x）=2x+1，x∈R，x=g（t）=t²-2t+3，t∈R；
②f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R；
（2）设函数f(x)=log2(x2-x+1)，g（t）=at²+2t+1，若函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知等值域变换的定义，分别求出f（x）和g（x）的值域和定义域，对①②进行一一验证，从而求解；
（2）已知函数f(x)=log2(x2-x+1)，g（t）=at²+2t+1，求出其值域和定义域，分三种情况进行讨论：①a＞0；②a=0；③a＜0，从而求解；

解答：解：（1）①函数f（x）=2x+1，x∈R的值域为R，
∵x=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，
∴y=f（g（t））=2[（t-1）²+2]+1≥5，
所以，x=g（t）不是f（x）的一个等值域变换
②f(x)=x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，
即f（x）的值域为[

3

4

，+∞)，
当t∈R时，f(g(t))=(2t-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，
即y=f（g（t））的值域仍为[

3

4

，+∞)，
所以x=g（t）是f（x）的一个等值域变换；
（2）由x²-x+1＞0解得x∈R
函数f(x)=log2(x2-x+1)=log2[(x-

1

2

)2+

3

4

]≥log2

3

4

即f（x）的值域为[log2

3

4

，+∞)
①若a＞0，函数g（t）=at²+2t+1有最小值1-

1

a

，
只需1-

1

a

≤

1

2

，即0＜a≤2，
就可使函数y=f（g（t））的值域仍为[log2

3

4

，+∞)
②若a=0，函数g（t）=at²+2t+1=2t+17的值域为R，
函数y=f（g（t））的值域仍为[log2

3

4

，+∞)
③若a＜0，函数g（t）=at²+2t+110有最大值1-

1

a

只需1-

1

a

≥

1

2

，即a＜0，
就可使函数y=f（g（t））的值域仍为[log2

3

4

，+∞)
综上可知：实数a的取值范围为（-∞，2]．

点评：此题主要考查二次函数的性质，考查新定义，解题的关键的是能够读懂新定义，利用了分类讨论的思想，是一道综合题；