Question

【题目】已知函数f(x)＝ln x＋＋ax(a是实数)，g(x)＝＋1.

(1)当a＝2时，求函数f(x)在定义域上的最值；

(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围；

(3)是否存在正实数a满足：对于任意x1∈[1,2]，总存在x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立？ 若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）f(x)在x＝处取到最小值，最小值为3－ln 2；无最大值．（2）∪[0，＋∞)．（3）不存在

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数在定义域上零点，最后判断端点值及导函数零点对应函数值的大小，确定最值.（2）即研究不等式恒成立或恒成立，利用变量分离得 或，根据二次函数性质可得，即得的取值范围；（3）即等价于研究的值域包含于值域是否成立，由（2）可得在[1,2]上是单调递增函数，即，根据导数易得在[1,2]上是单调递减函数，即，因此转化为求的解，由于无解，所以不存在.

试题解析：解：(1)当a＝2时，f(x)＝ln x＋＋2x，x∈(0，＋∞)，

f′(x)＝－＋2＝＝，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.

当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，

所以f(x)在x＝处取到最小值，最小值为3－ln 2；无最大值．

(2)f′(x)＝－＋a＝，x∈[1，＋∞)，

显然a≥0时，f′(x)≥0，且不恒等于0，

所以函数f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，符合要求．

当a<0时，令h(x)＝ax2＋x－1，当x―→＋∞时，h(x)―→－∞，

所以函数f(x)在[1，＋∞)上只能是单调递减函数．

所以Δ＝1＋4a≤0或解得a≤－.

综上：满足条件的a的取值范围是∪[0，＋∞)．

(3)不存在满足条件的正实数a.由(2)知，a >0时f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，

所以f(x)在[1,2]上是单调递增函数．所以对于任意x1∈[1,2]，

f(1) ≤f(x1)≤f(2)，即f(x1)∈.

g′(x)＝，当x∈[1,2]时，g′(x)≤0，

所以g(x)在[1,2]上是单调递减函数．所以当x2∈[1,2]时，g(x2)∈.

若对于任意x1∈[1,2]，总存在x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，

则，此时a无解．

所以不存在满足条件的正实数a.