Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若PA∥平面QBM，求

PM

MC

的值；
（3）若

PM

MC

=3，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性质，可得线面垂直，再利用面面垂直的判定，可得结论；
（2）利用线面平行，可得线线平行，从而可得比值；
（3）连接CQ，作MF⊥CQ于点F，作FG⊥BQ于点G，连接GM，证明二面角M-BQ-C的平面角为∠MGF，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵DQ∥BC且DQ=BC，∴四边形BCDQ是平行四边形，∴BQ∥CD，
∵CD⊥AD，∴BQ⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD，
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：设AC∩BQ=E，∵PA∥平面QBM，∴PA∥ME，∴

PM

MC

=

AE

EC

=

AQ

BC

=1．
（3）解：连接CQ，作MF⊥CQ于点F，作FG⊥BQ于点G，连接GM，
∵MF⊥CQ，PQ⊥CQ，∴PQ∥MF，
∵PQ⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴MF⊥平面ABCD，
∵FG⊥BQ，∴BQ⊥MG，∴二面角M-BQ-C的平面角为∠MGF，
∵

MF

PQ

=

CM

CP

=

1

4

，∴MF=

1

4

PQ=

3

4

，
∵

FG

BC

=

QF

QC

=

3

4

，∴FG=

3

4

BC=

3

4

，
∴tan∠MGF=

MF

FG

=

3

3

，∴∠MGF=

π

6

，
∴二面角M-BQ-C的大小为

π

6

．

点评：本题考查面面垂直的性质与判定，考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．