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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为1，M为棱A1B1上的点，N为棱BB1的中点，异面直线AM与CN所成角的大小为arccos
    2
    5
    ，求
    |A1M|
    |MB1|
    的值．
    分析：建立空间直角坐标系，设出M、的坐标，求出
    AM
    ，
    CN
    ，利用向量的数量积，求出M的位置，然后求
    |A1M|
    |MB1|
    的值．
    解答：精英家教网解：如图建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），M（1，a，1），
    N(1，1，
    1
    2
    )
    AM
    =（0，a，1），
    CN
    =（1，0，
    1
    2
    ）（其中a＞0）（4分）
    设向量
    AM
    、
    CN
    的夹角为θ，
    则cosθ=
    AM
    •
    CN
    |
    AM
    |•|
    CN
    |
    =
    1
    2
    		1+a2
    •
    		1+(
    1
    2
    )    2
    =
    2
    5
    ，
    ?1+a2=
    5
    4
    ，∴a=
    1
    2
    （10分）
    或cosθ=
    AM
    •
    CN
    |
    AM
    |•|
    CN
    |
    =
    1
    2
    		1+a2
    •
    		1+(
    1
    2
    )    2
    =-
    2
    5
    ，无解；（12分）
    所以当a=
    1
    2
    时，
    |A1M|
    |MB1|
    =1    （14分）
    点评：本题考查直线与直线的位置关系，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．
    练习册系列答案
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    8、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E，F在线段AB上，点M在线段B1C1上，点N在线段C1D1上，且EF=1，D1N=x，AE=y，M是B1C1的中点，则四面体MNEF的体积（　　）

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    精英家教网如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点．
    求：
    （1）D1E与平面BC1D所成角的正弦值；
    （2）二面角D-BC1-C的余弦值．

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    如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是D1C、AB的中点．
    （I）求证：EF∥平面ADD1A1；
    （Ⅱ）求二面角D-EF-A的余弦值．

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    如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P，Q，R分别是棱AB，CC1，D1A1的中点．
    （1）求证：B1D⊥平面PQR；
    （2）设二面角B1-PR-Q的大小为θ，求|cosθ|．

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    （2012•宝山区一模）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，E，F分别是BB1，CD的中点．
    （1）求三棱锥E-AA1F的体积；
    （2）求异面直线EF与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

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