Question

【题目】如图，在三棱柱中， ， 是线段的中点，且 平面．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求证： 平面；

（Ⅲ）若， ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由，可得，由 平面可得．根据线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）连接，设，根据三角形中位线定理可得，从而根据线面平行的判定定理可得平面；（Ⅲ）取的中点，则，因为，所以，又因为平面，所以两两垂直．以为原点，分别以为轴建立空间坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为，所以．

根据题意， 平面， 平面，所以．

因为，所以平面．

又因为平面，所以平面平面．

（Ⅱ）证明：连接，设，连接根据棱柱的性质可知， 为的中点，因为是的中点，所以．又因为平面，

平面，

所以平面．

（Ⅲ）如图，取的中点，则，因为，所以，

又因为平面，所以两两垂直．以为原点，分别以为轴建立空间坐标系（如图）.

由（Ⅰ）可知， 平面,

所以．又因为， ,所以平面，所以，所以四边形为菱形．

由已知，

则， ， ， ．

设平面的一个法向量为，

因为， ，所以，即

设，则．

再设平面的一个法向量为，

因为， ，所以，即

设，则．故．

由图知，二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.