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    【题目】如图，在直三棱柱中， 、分别为、的中点， ， .

    （1）求证：平面平面；

    （2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值.

    【答案】（1）见解析；（2）.

    【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，先证线面垂直， 平面，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直线的方向向量，根据公式得到线面角的正弦值。.

    解析：

    （1）在直三棱柱中

    又

    平面， 平面，

    ∴平面

    又∵平面

    ∴平面平面.

    （2）由（1）可知

    以点为坐标原点， 为轴正方向， 为轴正方向， 为轴正方向，建立坐标系.设

    ， ， ， ， ， ， ，

    直线的方向向量，平面的法向量

    可知∴

    ， ，

    设平面的法向量

    ∴∴

    设平面的法向量

    ∴∴

    记二面角的平面角为

    ∴

    二面角的平面角的正弦值为.

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