Question

【题目】已知点M（﹣1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．

（1）求曲线E的方程；

（2）已知m≠0，设直线：x﹣my﹣1=0交曲线E于A，C两点，直线：mx+y﹣m=0交曲线E于B，D两点，若CD的斜率为﹣1时，求直线CD的方程．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣2）2+y2=3．（2）y=﹣x，或y=﹣x+3．

【解析】试题分析：（1）根据已知条件布列（x，y）的方程，化简得：（x﹣2）2+y2=3；（2）由题易知：l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0），结合圆的几何性质求得直线CD的方程.

试题解析：

解：（1）设曲线E上任意一点坐标为（x，y），

由题意，，

整理得x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3，

∴曲线E的方程为（x﹣2）2+y2=3．

（2）由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0），

设曲线E的圆心为E，则E（2，0），线段CD的中点为P，

则直线EP：y=x﹣2，设直线CD：y=﹣x+t，

由，解得点，

由圆的几何性质，，

而，|ED|2=3，，

解之得t=0，或t=3，

∴直线CD的方程为y=﹣x，或y=﹣x+3．