Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形， ， ， 平面， ， ．

（1）求证： 平面；

（2）求直线与平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)直线与平面所成角的余弦值为.

【解析】试题分析：（1）要证线面平行，先找线线平行，先证平面AED⊥平面ABCD，做过E作EG⊥AD于G，则EG⊥平面ABCD，∴FC∥EG，进而得到线面平行；（2）建系，求面的法向量和线的方向向量，根据向量夹角得到线面角，即可。

解析：

（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，

∴BC=DC，∠ADC=∠BCD=120°，∴∠CDB=30°，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AD．

又AE⊥BD， =A，∴BD⊥平面AED，

又BD平面ABCD，∴平面AED⊥平面ABCD．

如图4，过E作EG⊥AD于G，则EG⊥平面ABCD，

又FC⊥平面ABCD，∴FC∥EG．

又EG平面AED，FC平面AED，

∴FC∥平面AED．

（Ⅱ）解：如图5，连接AC，由（Ⅰ）知AC⊥BC，

∵FC⊥平面ABCD，

∴CA，CB，CF两两垂直．

以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz．

设BC，则AC，AB，

， ， ，

，∴，

， ．

设平面BDF的法向量为，

则 即

令，则， ，则．

设直线AF与平面BDF所成角为，则，

故直线AF与平面BDF所成角的余弦值为．