Question

【题目】无穷数列满足： 为正整数，且对任意正整数， 为前项， ， ， 中等于的项的个数.

（Ⅰ）若，请写出数列的前7项；

（Ⅱ）求证：对于任意正整数，必存在，使得；

（Ⅲ）求证:“”是“存在，当时，恒有 成立”的充要条件。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题设条件，直接写出即可；

（Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的， ，利用反证法证明即可；

（Ⅲ）可分充分性和必要性证明即可，当时，得数列满足， ，当为偶数，则；当为奇数，则，即可证得充分性；再作出必要性的证明即可.

试题解析：

（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1

（Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的， . 由题意，

考虑数列的前项：

， ， ，…，

其中至少有项的取值相同，不妨设

此时有： ，矛盾.

故对于任意的正整数，必存在，使得.

（Ⅲ）充分性：

当时，数列为， ， ， ， ， ， ，…， ， ， ， ，…

特别地， ， ，故对任意的

（1）若为偶数，则

（2）若为奇数，则

综上， 恒成立，特别地，取有当时，恒有成立

方法一:假设存在（），使得“存在，当时，恒有成立”

则数列的前项为

， ， ， ， ， ， ， ，…， ， ， ，

， ， ， ， ，…， ， ， ，

， ， ，…， ， ， ，

， ， ， ，

， ，

后面的项顺次为

， ， ， ，…， ，

， ， ， ，…， ，

， ， ， ，…， ，

……

对任意的，总存在，使得， ，这与矛盾，故若存在，当时，恒有成立，必有

方法二：若存在，当时， 恒成立，记.

由第（2）问的结论可知：存在，使得（由s的定义知）

不妨设是数列中第一个大于等于的项，即均小于等于s.

则.因为，所以，即且为正整数，所以.

记，由数列的定义可知，在中恰有t项等于1.

假设，则可设，其中，

考虑这t个1的前一项，即，

因为它们均为不超过s的正整数，且，所以中一定存在两项相等，

将其记为a，则数列中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！

故假设不成立，所以，即必要性得证！

综上，“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件.