【题目】【2018河南安阳市高三一模】如下图,在平面直角坐标系中,直线
与直线
之间的阴影部分即为
,区域
中动点
到
的距离之积为1.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)动直线穿过区域
,分别交直线
于
两点,若直线
与轨迹
有且只有一个公共点,求证:
的面积恒为定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由点到直线距离公式直接把已知表示出来,并化简可得方程;
(Ⅱ)直线与轨迹
有且只有一个公共点,即直线
与轨迹
相切,因此可求出当
与
垂直(即斜率不存在)时,
面积,当
斜率存在时,可设其方程为
,与双曲线方程联立方程组,由
可得
,再设出
,由直线相交可求得
(用
表示),计算
面积可得结论.
试题解析:
(Ⅰ)由题意得,
.
因为点在区域
内,所以
与
同号,得
,
即点的轨迹
的方程为
.
(Ⅱ)设直线与
轴相交于点
,当直线
的斜率不存在时,
,
,得
.
当直线的斜率存在时,设其方程为
,显然
,则
,
把直线的方程与
联立得
,
由直线与轨迹
有且只有一个公共点,知
,
得,得
或
.
设,
,由
得
,同理,得
.
所以
.
综上, 的面积恒为定值2.
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【题目】已知椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为
,且经过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆的下顶点为
,如图所示,点
为直线
上的一个动点,过椭圆
的右焦点
的直线
垂直于
,且与
交于
两点,与
交于点
,四边形
和
的面积分别为
.求
的最大值.
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【题目】【2018百校联盟TOP20一月联考】函数在
处的切线斜率为
.
(I)讨论函数的单调性;
(II)设,
,对任意的
,存在
,使得
成立,求
的取值范围.
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【题目】如图,在四棱柱中,
平面
,底面
为梯形,
,
,
,点
,
分别为
,
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使
与平面
所成角的正弦值是
,若存在,求
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数,
,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性.
(Ⅱ)试判断曲线与
是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在,求出公切线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内,每喷洒1个单位的净化剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为y= 若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时,它才能起到净化空气的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂,则净化时间可达几天?
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂,6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效净化,试求a的最小值(精确到0.1,参考数据: 取1.4).
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【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E、F分别是AB、BC的中点,证明A1、C1、F、E四点共面,并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小.
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【题目】已知点,
,
是直线
上任意一点,以
为焦点的椭圆过点
,记椭圆离心率
关于
的函数为
,那么下列结论正确的是
A. 与
一一对应 B. 函数
是增函数
C. 函数无最小值,有最大值 D. 函数
有最小值,无最大值
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