Question

【题目】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．

Answer 1

【答案】

【解析】试题分析：由中位线的性质和长方体的性质可得，平行的两直线必定共面，所以可以证明， ， 四点共面；建立空间直角坐标系，写出上两相交向量及的坐标，设平面的法向量的坐标，根据法向量与平面内任意向量的内积为求出法向量，从而可以求出法向量与的余弦值，该余弦值的绝对值即为与平面所成角的正弦值。

解析：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，

所以EF∥A1C1，

所以A1、C1、F、E四点共面．

以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求得

，

设平面A1C1EF的法向量为

则，所以，即，

z=1，得x=1，y=1，所以，

所以=，

所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．