Question

【题目】已知正项等比数列{an}(n∈N*)，首项a1＝3，前n项和为Sn，且S3＋a3、S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{nan}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．

Answer 1

【答案】(1)an＝3×()n－1.(2)9.

【解析】试题分析：（1）设等比数列{an}的公比为q，由题意，列成方程，求解 ，即可求解数列的通项公式；

（2）由（1）知nan＝3n×，用乘公比错位相减法求的Tn，根据Tn的增减性，求解3≤Tn＜12，即可求解b－a的最小值.

试题解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，

∵S3＋a3、S5＋a5、S4＋a4成等差数列，

∴有2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)

即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝(a1＋a2＋2a3)＋(a1＋a2＋a3＋2a4)，

化简得4a5＝a3，从而4q2＝1，解得q＝±，

∵an＞0，∴q＝，得an＝3×()n－1.

(2)由(1)知，nan＝3n×()n－1，Tn＝3×1＋3×2×()＋3×3×()2＋…＋3n()n－1;

Tn＝3×1×()＋3×2×()2＋…＋3(n－1)×()n－1＋3n()n

两式相减得：Tn＝3×1＋3×()＋3×()2＋…＋3×()n－1－3n()n

＝3×－3n()n＝6－，

∴Tn＝12－＜12.

又nan＝3n×()n－1＞0，∴{Tn}单调递增，

∴(Tn)min＝T1＝3，故有3≤Tn＜12.

∵对任意正整数n，都有Tn∈[a，b]，

∴a≤3，b≥12.

即a的最大值为3，b的最小值为12.

故(b－a)min＝12－3＝9.