Question

【题目】已知四棱锥中，底面为直角梯形， 平面，侧面是等腰直角三角形， ， ，点是棱的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）求锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】，

试题分析：（1）取AC的中点F，连接BF，可证平面ACD，又可证四边形BFME是平行四边形.可得 EM//BF，可证平面ACD，从而平面平面；（2）利用空间直角坐标进行向量运算，根据法向量夹角即可求出.

试题解析：

（1）证明：取AC的中点F，连接BF，

因为AB＝BC，所以， 平面ABC,所以CD .

又所以平面ACD.①

因为AM=MD，AF=CF，所以.

因为 ，所以//MF，

所以四边形BFME是平行四边形.所以EM//BF.②

由①②,得平面ACD，所以平面平面；

（2）解： BE平面ABC，

又，

以点B为原点，直线BC、BA、BE分别为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系B-xyz.

由，得B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(2,0,2).

由中点坐标公式得， ,，

设向量为平面BMC的一个法向量，则即

令y=1,得x=0，z=－1，即,

由（I）知， 是平面ACD的一个法向量.

设二面角B－CM－A的平面角为，

则，

又二面角B－CM－A为锐二面角，故.