【题目】设为实数,函数
.
(1)若,求
的取值范围;
(2)讨论的单调性;
(3)当时,讨论
在区间
内的零点个数.
【答案】(1) .
(2) 在
上单调递增,在
上单调递减.
(3) 当时,
有一个零点
;当
时,
有两个零点.
【解析】
试题分析:(1)先由可得
,再对
的取值范围进行讨论可得
的解,进而可得
的取值范围;(2)先写函数
的解析式,再对
的取值范围进行讨论确定函数
的单调性;(3)先由(2)得函数
的最小值,再对
的取值范围进行讨论确定
在区间
内的零点个数.
试题解析:(1),因为
,所以
,
当时,
,显然成立;当
,则有
,所以
.所以
.
综上所述,的取值范围是
.
(2)
对于,其对称轴为
,开口向上,
所以在
上单调递增;
对于,其对称轴为
,开口向上,
所以在
上单调递减.
综上所述,在
上单调递增,在
上单调递减.
(3)由(2)得在
上单调递增,在
上单调递减,所以
.
(i)当时,
,
令,即
(
).
因为在
上单调递减,所以
而在
上单调递增,
,所以
与
在
无交点.
当时,
,即
,所以
,所以
,因为
,所以
,即当
时,
有一个零点
.
(ii)当时,
,
当时,
,
,而
在
上单调递增,
当时,
.下面比较
与
的大小
因为
所以
结合图象不难得当时,
与
有两个交点.
综上所述,当时,
有一个零点
;当
时,
有两个零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得=80,
=20,
=184,
=720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
附:线性回归方程y=bx+a中, ,a=
-b
,其中
,
为样本平均值.
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【题目】已知正项等比数列{an}(n∈N*),首项a1=3,前n项和为Sn,且S3+a3、S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{nan}的前n项和为Tn,若对任意正整数n,都有Tn∈[a,b],求b-a的最小值.
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【题目】甲袋中有1只黑球,3只红球;乙袋中有2只黑球,1只红球.
(1)从甲袋中任取两球,求取出的两球颜色不相同的概率;
(2)从甲,乙两袋中各取一球,求取出的两球颜色相同的概率.
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【题目】某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.
整理评分数据,将分数以为组距分成
组:
,
,
,
,
,
,得到A餐厅分数的频率分布直方图,和B餐厅分数的频数分布表:
B餐厅分数频数分布表 | |
分数区间 | 频数 |
定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下:
分数 | |||
满意度指数 |
(Ⅰ)在抽样的100人中,求对A餐厅评价“满意度指数”为的人数;
(Ⅱ)从该校在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率;
(Ⅲ)如果从A,B两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由.
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【题目】市政府为了节约用水,调查了100位居民某年的月均用水量(单位:),频数分布如下:
分组 | |||||||||
频数 | 4 | 8 | 15 | 22 | 25 | 14 | 6 | 4 | 2 |
(1)根据所给数据将频率分布直图补充完整(不必说明理由);
(2)根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数;
(3)根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数(同一组数据由该组区间的中点值作为代表).
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.
(1)求f(x)的解析式,并画出f(x)的图象;
(2)设g(x)=f(x)-k,利用图象讨论:当实数k为何值时,函数g(x)有一个零点?二个零点?三个零点?
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