Question

【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.

(1)求f(x)的解析式，并画出f(x)的图象；

(2)设g(x)＝f(x)－k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g(x)有一个零点？二个零点？三个零点？

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝，函数图象略．

(2)当k<－1或k>1时，有1个零点；当k＝－1或k＝1时，2个零点；

当－1<k<1时，3个零点．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先设x＜0可得﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，由函数f（x）为奇函数可得f（x）=﹣f（﹣x），可求，结合二次函数的图象可作出f（x）的图象

（II）由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k，结合函数的图象可，要求g（x）=f（x）﹣k的零点个数，只要结合函数的图象，判断y=f（x）与y=k的交点个数

试题解析：

（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．

设x＜0可得﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x

∵函数f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣2x

∴函数的图象如图所示

（II）由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k

结合函数的图象可知

①当k＜﹣1或k＞1时，y=k与y=f（x）的图象有1个交点，即g（x）=f（x）﹣k有1个零点

②当k=﹣1或k=1时，y=k与y=f（x）有2个交点，即g（x）=f（x）﹣k有2个零点

③当﹣1＜k＜1时，y=k与y=f（x）有3个交点，即g（x）=f（x）﹣k有3个零点