【题目】在平面直角坐标系中, 的两个顶点
的坐标分别为
,三个内角
满足
.
(1)若顶点的轨迹为
,求曲线
的方程;
(2)若点为曲线
上的一点,过点
作曲线
的切线交圆
于不同的两点
(其中
在
的右侧),求四边形
面积的最大值.
【答案】(1)B点的轨迹方程为;(2)4.
【解析】试题分析:(1)利用正弦定理,将正弦化为边,得出,化简得
,利用椭圆的定义得出B点的轨迹和轨迹方程;(2)设直线
,联立直线和椭圆方程,由
,求得
,由韦达定理求出
的表达式,设点O到直线MN的距离为d,求得
,由直线与圆相交时的弦长公式,求出
,求出三角形OMN的面积,再分别求出三角形NAO和三角形MCO的面积和,利用基本不等式求出四边形ACMN面积的最大值。
试题解析:(1)设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 由正弦定理.∵
,∴
.
∵ ∴
即
.由椭圆定义知,B点轨迹是以C,A为焦点,长半轴长为2,半焦距为
,短半轴长为
,中心在原点
的椭圆(除去左、右顶点).
∴B点的轨迹方程为.
(2)易知直线的斜率
存在,设
,
,
,即
,
因为,设点
到直线
的距离为
,
则,
,
,
由,
,
,
,
.
而,
,易知
,
,
,
时取到,
.
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【题目】已知四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为直角梯形,CD⊥平面ABC,侧面ABC是等腰直角三角形,∠EBC=∠ABC=90°,BC=CD=2BE=2,点M是棱AD的中点
(I)证明:平面AED⊥平面ACD;
(Ⅱ)求锐二面角B-CM-A的余弦值
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【题目】已知直线过椭圆
的右焦点且与椭圆
交于
两点,
为
中点,
的斜率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
的动弦,且其斜率为1,问椭圆
上是否存在定点
,使得直线
的斜率
满足
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知正项等比数列{an}(n∈N*),首项a1=3,前n项和为Sn,且S3+a3、S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{nan}的前n项和为Tn,若对任意正整数n,都有Tn∈[a,b],求b-a的最小值.
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【题目】已知抛物线:
的焦点为
,准线为
,三个点
,
,
中恰有两个点在
上.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过的直线交
于
,
两点,点
为
上任意一点,证明:直线
,
,
的斜率成等差数列.
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【题目】甲袋中有1只黑球,3只红球;乙袋中有2只黑球,1只红球.
(1)从甲袋中任取两球,求取出的两球颜色不相同的概率;
(2)从甲,乙两袋中各取一球,求取出的两球颜色相同的概率.
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【题目】市政府为了节约用水,调查了100位居民某年的月均用水量(单位:),频数分布如下:
分组 | |||||||||
频数 | 4 | 8 | 15 | 22 | 25 | 14 | 6 | 4 | 2 |
(1)根据所给数据将频率分布直图补充完整(不必说明理由);
(2)根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数;
(3)根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数(同一组数据由该组区间的中点值作为代表).
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【题目】已知AF平面ABCD,四边形ABEF为矩形,四边形ABCD为直角梯形,
.
(1)求证: 平面
;
(2)线段上是否存在一点
,使得
?若存在,确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
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