【题目】已知直线
过椭圆
的右焦点且与椭圆
交于
两点， 
为
中点， 
的斜率为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
是椭圆
的动弦，且其斜率为1，问椭圆
上是否存在定点
，使得直线
的斜率
满足
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
.（2）
或
满足题意.
【解析】试题分析：（1）由已知得，椭圆
的半焦距
，
设
， 
， 
，由
在椭圆
上列出方程组，得到
，
进而求得
，再根据
，解得
的值，即可得到椭圆的方程；
（2）假设
上存在定点
满足题意，设直线
方程为
，联立方程组，得
， 
，由
，代入化简得
，又由它与
无关，即可得椭圆
上存在点
或
满足题意.
试题解析：
（1）由已知得，椭圆
的半焦距
，
设
， 
， 
，则
， 
，又由
在椭圆
上得
，两式相减得
，所以
，
而
，所以
又
，所以
， 
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）假设
上存在定点
满足题意，并设直线
方程为
，
， 
，联立
，消
得
，则
， 
，
由
，得
，将
， 
，代入并化简得
，
将
， 
代入并化简得
，
由它与
无关，只需
，解得
，或
，
而这两点恰好在椭圆
上，从而假设成立，
即在椭圆
上存在点
或
满足题意.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在棱长为1的正方体
中，点
， 
分别是侧面
与底面
的中心，则下列命题中错误的个数为（ ）
①
平面
； ②异面直线
与
所成角为
；
③
与平面
垂直； ④
．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】对于①，∵DF
，DF
平面
， 
平面
，∴
平面
，正确；
对于②，∵DF
，∴异面直线
与
所成角即异面直线
与
所成角，△
为等边三角形，故异面直线
与
所成角为
，正确；
对于③，∵
⊥
， 
⊥CD，且
CD=D，∴
⊥平面
，即
⊥平面
正确；
对于④，
，正确，
故选：A
【题型】单选题
【结束】
8
【题目】已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于两点
(点
在点
的左侧)，且
.
(1)求圆C的方程；(2)过点
任作一直线与圆O： 
相交于
两点，连接
，求证： 
定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，设函数f（g（x））有m个零点，函数g（f（x））有n个零点，则m+n等于（ ）
A. 6 B. 10 C. 8 D. 1
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了解某地区某种农产品的年产量
（单位：吨）对价格
（单位：千元/吨）和利润
的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 7.0 | 6.5 | 5.5 | 3.8 | 2.2 |
已知
和
具有线性相关关系.
（Ⅰ）求
关于
的线性回归方程
；
（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润
取到最大值？（保留一位小数）
参考数据及公式： 
， 
，
， 
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】北京大学从参加逐梦计划自主招生考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组
， 
，…， 
后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在
内的频率；
（2）估计本次考试成绩的中位数（结果四舍五入，保留整数）；
（3）用分层抽样的方法在分数段为
的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有
人在分数段
内的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在几何体中，四边形
为菱形，对角线
与
的交点为
，四边形
为梯形， 
.
（Ⅰ）若
，求证： 
平面
；
（Ⅱ）求证：平面
平面
；
（Ⅲ）若
， 
， 
，求
与平面
所成角.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系中， 
的两个顶点
的坐标分别为
，三个内角
满足
.
（1）若顶点
的轨迹为
，求曲线
的方程；
（2）若点
为曲线
上的一点，过点
作曲线
的切线交圆
于不同的两点
（其中
在
的右侧），求四边形
面积的最大值.
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