Question

已知函数定义在区间上，，且当时，恒有．又数列满足．

（Ⅰ）证明：在上是奇函数；

（Ⅱ）求的表达式；

（III）设为数列的前项和，若对恒成立，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（III）m的最小值为7

【解析】本试题主要是考查了函数与数列的知识点的交汇处的运用。

（1）运用赋值法，令x=y=0时，则由已知有，

可解得f (0)=0．

再令x=0，y∈(-1，1)，则有，即，

∴  f (x)是(-1，1)上的奇函数

（2）令x=a_n，y= -a_n，于是，

由已知得2f (a_n)=f (a_n+1)，

∴ ，

从而得到 数列{f(a_n)}是以f(a₁)=为首项，2为公比的等比数列．

∴ 

（3）由(II)得f(a_n+1)=-2ⁿ，于.

然后求解和式，得到结论。

解：（Ⅰ）证明：令x=y=0时，则由已知有，

可解得f (0)=0．

再令x=0，y∈(-1，1)，则有，即，

∴  f (x)是(-1，1)上的奇函数．                                            4分

（Ⅱ）令x=a_n，y= -a_n，于是，

由已知得2f (a_n)=f (a_n+1)，

∴ ，

∴ 数列{f(a_n)}是以f(a₁)=为首项，2为公比的等比数列．

∴                                                8分

（III）由(II)得f(a_n+1)=-2ⁿ，于.

∴ T_n= b₁+ b₂+ b₃+…+ b_n

，

.

∴ .             9分

令

于是，

∴ .

∴ k(n+1)<k(n)，即k(n)在N*上单调递减，         12分

∴ k(n)_max=k(1)=，

∴ ≥即m≥.

∵ m∈N^*，

∴ m的最小值为7．               14分