Question

（2013•湛江二模）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AC=AA₁，CD⊥AC₁，E、F分别是BB₁、CC₁中点．
（1）证明：平面DEF∥平面ABC；
（2）证明：CD⊥平面AEC₁．

Answer 1

分析：（1）由题意易证D为AC₁的中点，进而可得以DF∥AC，DF∥平面ABC，同理可证EF∥平面ABC，由平面与平面平行的判定定理可得；（2）设AB=2，则DF=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=60°，由余弦定理可得DE=

3

，又可得CD=

1

2

AC1=

2

，CE=

12+22

=

5

，故有CD²+DE²=CE²，由勾股定理可得CD⊥DE，又CD⊥AC₁，由线面垂直的判定可得．

解答：（1）证明：由题意可知CA=CC₁，又CD⊥AC₁，
由等腰三角形的性质可知D为AC₁的中点，
又F为CC₁的中点，所以DF∥AC，
又AC?平面ABC，所以DF∥平面ABC，
同理可证：EF∥平面ABC，又DF∩EF=F，
所以平面DEF∥平面ABC；
（2）设AB=2，则DF=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=60°，
由余弦定理可得：DE²=1²+2²-2×1×2×

1

2

=3，∴DE=

3

，
∵CD为直角三角形ACC₁斜边AC₁的中线，
∴CD=

1

2

AC1=

2

，CE=

12+22

=

5

，
所以CD²+DE²=CE²，由勾股定理可得CD⊥DE，
又CD⊥AC₁，AC₁∩DE=D，所以CD⊥平面AEC₁．

点评：本题考查平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，属中档题．