Question

已知函数f(x)=x+

3

x

（1）用函数单调定义研究函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明之；
（3）根据函数的单调性和奇偶性作出函数f（x）的图象，写出该函数的单调减区间．

Answer 1

分析：（1）先任意取两个变量，且界定其大小，再作差变形看符号，注意变形到等价且到位．
（2）先看函数f（x）的定义域是否关于原点对称，在此基础上再研究f（-x）与f（x）的关系．
（3）通过（1）（2）的结论描述图象，结合图象写出单调区间．

解答：解：（1）任意取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂.f(x1)-f(x2)=(x1+

3

x1

)-(x2+

3

x2

)=(x1-x2)(1-

3

x1x2

)=(x1-x2)

x1x2-3

x1x2

（3分）
因为x₁＜x₂所以x₁-x₂＜0
当x1，x2∈(0，

3

]时，0＜x₁x₂＜3所以x₁x₂-3＜0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）．
所以f（x）在（0，

3

]上是单调减函数．（6分）
同理可证f（x）在（

3

，+∞）上是单调增函数．（8分）
（2）函数f（x）的定义域为x|x≠0，x∈R关于原点对称（9分）
因为f(-x)=-x-

3

x

=-f(x).
所以f（x）是奇函数．（12分）
（3）图象为
（14分）
函数f（x）的单调减区间为(-

3

，0)和(0，

3

)（16分）

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断与证明，同时还考查了利用性质作出函数图象，这类作图不是很准确，但在数形结合中解决问题很有效．