试题分析:(Ⅰ)证明:
,
由条件可得
,所以
(4分)
(Ⅱ)解:因为
bn+1=(-1)
n+1[
an+1-3(
n-1)+9]=(-1)
n+1(
an-2
n+6)
=
(-1)
n·(
an-3
n+9)=-
bn又
b1=,所以
当λ=-6时,
bn=0(
n∈N
+),此时{
bn}不是等比数列,
当λ≠-6时,
b1=≠0,由上可知
bn≠0,∴
(
n∈N
+).
故当λ≠-6时,数列{
bn}是以-(λ+6)为首项,-
为公比的等比数列. (10分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-6,
bn=0,
Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-6,故知
bn= -(λ+6)·(-
)
n-1,于是可得
Sn=
要使
a<
Sn<
b对任意正整数
n成立,
即
a<-
(λ+6)·[1-(-
)
n]<b(
n∈N
+)
①
当
n为正奇数时,1<
f(
n)
∴
f(
n)的最大值为
f(1)=
,
f(
n)的最小值为
f(2)=
,
于是,由①式得
a<-
(λ+6)<
当
a<
b3
a时,由-
b-6
-3
a-6,不存在实数满足题目要求;
当
b>3
a时存在实数λ,使得对任意正整数
n,都有
a<
Sn<
b,
且λ的取值范围是(-
b-6, -3
a-6) (16分)
点评:熟练的根据等差数列和等比数列的定义和求和来求解,属于中档题。