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已知数列{an}和{bn}满足:,其中λ为实数,n为正整数.
(Ⅰ)若数列{an}前三项成等差数列,求的值;
(Ⅱ)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)设0<a<b,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.
(1)  
(2) λ≠-6时,数列{bn}是以-(λ+6)为首项,-为公比的等比数列.
(3) λ的取值范围是(-b-6, -3a-6)

试题分析:(Ⅰ)证明:
由条件可得,所以  (4分)
(Ⅱ)解:因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+9]=(-1)n+1(an-2n+6)
=(-1)n·(an-3n+9)=-bn
b1=,所以
当λ=-6时,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列,
当λ≠-6时,b1=≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N+).
故当λ≠-6时,数列{bn}是以-(λ+6)为首项,-为公比的等比数列. (10分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-6,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-6,故知bn= -(λ+6)·(-)n-1,于是可得
Sn=
要使a<Sn<b对任意正整数n成立,
a<-(λ+6)·[1-(-n]<b(n∈N+)
   ①
n为正奇数时,1<f(n)
f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,
于是,由①式得a<-(λ+6)<
a<b3a时,由-b-6-3a-6,不存在实数满足题目要求;
b>3a时存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,
且λ的取值范围是(-b-6, -3a-6)  (16分)
点评:熟练的根据等差数列和等比数列的定义和求和来求解,属于中档题。
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